By Professor Gert Böhme (auth.)

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A /\a~b=>b~a Sei nun c ein beliebiges Element der Klasse Kb: c E K b • Dann gilt c also c ~ a (Transiti vitat) und somit c E Ka. Also Kb C Ka. ~ b, mit b ~ a Nun nehmen wir umgekehrt ein beliebiges dE Ka an: d ~ Ka a /\ a C ~ b => d Kb /\ Kb C ~ b => d E Kb Ka => Ka = Kb => Ka C Kb • (Identitivitat der Teilmengenrelation! ) In Konsequenz dieses Satzes kann man die Aquivalenz zwischen Elementen durch die Gleicheit der entsprechenden Klassen ersetzen. Damit wird ein AbstraktionsprozeB realisiert, der von den Objekten zu den Klassen fUhrt.

Abb. 35 zeigt das HasseDiagramm, zusammen mit dem ihm gleichwertigen Pfeildiagramm, fUr die Relation "x ist Teiler von y" auf der Menge M = 13,9, 15, 135) . Diese Relation ist iibrigens nicht linear, da weder 9 Teiler von 15, noch 15 Teiler von 9 ist, welhal b das Diagramm nicht als Kette gezeichnet werden kann. Aufgaben zu 1. 2. 4 1. 36 2. 37 dargestellt? Geben Sie R in aufzahlender Form an! 37 3. Sei M= 11,2,3,4,5,6), R= l(x,y)lx istechterTeilervon y\. WielautetdieR eindeutig zugeordnete (nicht-strenge) Ordnungsrelation R 1 in aufzahlender Form?

Man kann nun auch umgekehrt vorgehen, indem man eine Klasseneinteilung K*= /KxlxEMI von M vorgibt und nach derzugehorigen Aquivalenzrelation fragt. 40 1. Grundlagen der Algebra Satz 1st K * eine gegebene Klasseneinteilung (Zerlegung) einer Menge M und erklart man auf Meine Relation R gemaB aRb : <0> a ~b : <0> V [a EK II bE KJ KEK* so ist Reine Aquivalenzrelation auf M. Beweis: (1) R ist reflexiv! Da namlich M die Vereinigung aller Klassen ist, muB jedes aEM in genaueinerKlasseliegen: aEK~a~a. (2) R istsymmetrisch!

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