By Patrik Hubschmid

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Sei K ein K¨orper und B eine endlich erzeugte K-Algebra. Ist B ein K¨orper, so ist B eine endliche K¨orpererweiterung von K. Beweis. Nach dem Noetherschen Normalisierungssatz gibt es u ¨ber K algebraisch unabh¨angige Elemente b1 , . . , bn ∈ B, so dass B endlich u ¨ber K[b1 , . . , bn ] ist. 56 ist daher insbesondere B ganz u ¨ber K[b1 , . . , bn ]. Ist B ein K¨orper, ist daher auch K[b1 , . . , bn ] ∼ ¨ber K in n > 0 Va= K[X1 , . . , Xn ] ein K¨orper. Ein Polynomring u riablen ist aber nie ein K¨orper.

Mit Teil (ii) des vorangegangenen Korollars folgt, dass R2 auch ein noetherscher R-Modul ist. Mit Induktion folgt weiter, dass Rn f¨ ur jedes n ≥ 1 noethersch ist. Ist nun M = a1 , . . , an R ein endlich erzeugter R-Modul, so ist ϕ: Rn −→ M (r1 , . . , rn ) −→ r1 a1 + · · · + rn an ein surjektiver R-Modul-Homomorphismus. Daher ist M nach Teil (i) des vorangegangenen Korollars noethersch. Wir haben also gezeigt, dass Untermoduln von endlich erzeugten Moduln u ¨ber noetherschen Ringen wieder endlich erzeugt sind.

2. Ist K ein K¨orper, so ist char(K) gleich 0 oder eine Primzahl. Beweis. Nach dem Homomorphiesatz angewendet auf ϕK : Z → K mit ker ϕK = nK Z gilt Z/nK Z ∼ = ϕK (Z) ⊂ K. Der Unterring ϕK (Z) ⊂ K ist ein Integrit¨atsbereich, da K als K¨orper keine Nullteiler hat. Daher ist nK Z ein Primideal von Z. Es folgt, dass char(K) = nK entweder 0 oder eine Primzahl ist. 3. Sei K ein K¨orper. Der Quotientenk¨orper des Bildes ϕK (Z) des eindeutigen Homomorphismus ϕK : Z → K wird als Primk¨orper PK von K bezeichnet.

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Algebra by Patrik Hubschmid
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