By Lutz Führer

Bevor wir ein erstes (und letztes) Mal versuchen, die Aufgaben der Topologie zu formu lieren, sollen einige Bemerkungen verdeutlichen, urn was once es geht, wenn von einer Grund struktur die Rede ist. Wenn sich der scholar eines Tages entschlieBt, emsthaft Topologie zu lemen, ist er ihr liingst bei verschiedenen Gelegenheiten in seiner Ausbildung begegnet. Er beschiiftigt sich drum mit der "Grundstruktur" Topologie in einer state of affairs, in der das mathema tische ProblembewuBtsein erheblich gereift ist und als Motivationshilfe herangezogen werden kann. Nun gibt es - und besonders die kiinftigen Lehramtskandidaten sollten dies bedenken - seit einigen Jahren im Zuge der "Neuen Mathematik" Bestrebungen, Topologie als eine Grundstruktur mathematischer Vorerfahrungen anzusehen. In Lehr btichem fUr ABC-Schtitzen findet guy ganze Abschnitte tiber Begriffe wie Inneres, Rand, offen, zusammenhiingend, Kurve oder Graph, die didaktische Literatur zur Primarstufe ist voll von Ratschliigen, wie guy naive Vorstellungen vom Verbiegen, Strecken und Stauchen fUr den Unterricht nutzbar machen kann, und in jedem Buch zur Unterhal tungsmathematik findet guy Eulers Brtickenproblem und das Mobiusband. Nattirlich werden wir die Frage, ob es sich bei der Topologie in einem - die Bourbakischen Vor stellungen weit tibersteigenden - Sinne urn eine psychologische Grundstruktur riium licher Wahrnehrnung handelt, schlieBlich den Entwicklungspsychologen tibedassen mtis sen. FUr den Mathematiker ist jedoch interessant, daB viele Fragestellungen der Topologie unmittelbar aus alltiiglichen oder elementarmathematischen tlbedegungen erwachsen und daB die Delikatesse der Antworten dem interessierten Laien doch nur schwer ver stiindlich zu machen ist.

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An von A schneidet, so ist V := U () n n i =1 (X \ AD C U eine Umgebung, die kein Element von A trifft, also in X \ U A liegt. Damit besteht X \ U A nur aus inneren Punkten. Wir werden dieses Kriterium in Absehnitt 6 zu einem wichtigen Stetigkeitstest fUr stiiekweise definierte Funktionen ausbauen. 6 Satz: 1st f eine Abbildung zwischen den topologischen Raumen X bzw. Y, so sind gleichbedeutend: (a) f ist stetig. (b) BCY~r-I(B)CX. (c) f erhiilt Beriihrpunkte, d. h. A C X ~ f(A) C f(A). 2 (b),(b').

Konvergenz) istjedes Element f Beriihrpunkt der Menge COR, IR) der stetigen Funktionen: 1st niimlich U E Upw(f), SO umf~t U ein UE, e (f) mit E = {t b •.. , tn} C IR (vgl. 3(g» und ti < ti + 1· Wir setzen g(t) := { :~::~ ( 1- t - t1 . ) f(ti) + t - t·1 f(ti+1) ti + 1 - ti ti + 1 - ti fUr Bild s. S. 26 fUr fUr tEltioti+d dann ist g stetig. ) Es ist g E COR, IR) n UE, e (f) C COR, IR) n U "* fl. Da sich dies fUr beliebiges I) Math. naturw. Ber. aus Ungarn 24 (1906); vgI. Tietze/Vietoris, Enzyklopiidie der math.

Au1lJer den f(i) enthalt diese Menge die Grenzpunkte von fund allen Teilfolgen (

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